有关一道数列高考题求和表达式的思考

【467】（2020 · 新课标Ⅰ卷 · 文 · 16）

​ 数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_{n+2}+(-1)^na_n=3n-1\)，前 \(16\) 项和为 \(540\)，则 \(a_1=\underline{\qquad\qquad}\).

这是刷题时碰到的一道有意思的题目。

因为该题数据范围小，故在现行参考答案中都是清一色的分奇偶讨论然后枚举相加。

但实际上，其求和表达式是可求的：

当 \(n\) 为奇数时，运用累加法 \[ \begin{align} a_{n+2}-a_n&=3n-1 \\ a_n-a_{n-2}&=3(n-2)-1 \\ a_{n-2}-a_{n-4}&=3(n-4)-1 \\ &\dots \\ a_5-a_3&=3\times3-1=8 \\ a_3-a_1&=3\times1-1=2 \\ \end{align} \] 则 \[ \begin{align} a_{n+2}&=(3n-1)+(3n-7)+\dots+8+2+a_{1} \\ &= \dfrac{(2+3n-1)\dfrac{n+1}{2}}{2}+a_1 \\ &= \dfrac{(n+1)(3n+1)}{4}+a_1 \end{align} \] 令 \(b_n=\dfrac{(n+1)(3n+1)}{4}\). 因为只研究奇数项，

令 \(c_n=b_{2n-1}=\dfrac{2n(6n-2)}{4}=n(3n-1)=3n-n^2\).

对于两个等差数列相乘的形式，展开分别求和，于是有 \[ \begin{align} S_{c_n}&=3\times\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\dfrac{n(n+1)}{2} \\ &=\dfrac{n(n+1)\times 2n}{2} \\ &=n^2(n+1) \end{align} \] 注意到 \[ \begin{align} a_{n+2}=b_n&+a_1 \\ a_{2n+1}=b_{2n-1}+&a_1=c_n+a_1 \\ a_1+a_3+a_5+\dots+a_{2n-1}&=S_{c_n}+(n+1)a_1 \\ &=n^2(n+1)+(n+1)a_1 \end{align} \] 令 \(T_1\) 为奇数项前 \(n\) 项和，因此 \[ \begin{align} T_1 &= a_1+a_3+a_5+\dots+a_{2n-1} \\ &= (n-1)^2n + na_1 \\ &= n[(n-1)^2+a_1] \end{align} \] 当 \(n\) 为偶数时，有 \(a_{n+2}+a_n=3n-1\).

令 \(d_n=a_n+a_{n+2}\)，又只取偶数项，可列出大概示意 \[ \begin{align} a_{16}\quad a_{14} \to d_{14} \to \ &e_4 \\ a_{12}\quad a_{10} \to d_{10} \to \ &e_3 \\ a_{8}\quad a_{6} \to d_{6} \to \ &e_2 \\ a_{4}\quad a_{2} \to d_{2} \to \ &e_1 \\ \end{align} \] 箭头左边即为所需 \(a_n\) 的和

故可令 \(e_n=d_{4n-2}=3(4n-2)-1=12n-7\). \[ \begin{align} S_{e_n}&=12\times\dfrac{n(n+1)}{2}-7n \\ &=n(6n-1) \end{align} \] 由示意图看出 \(e_n\) 即对应 \(a_{4n}\)，令 \(T_2\) 为偶数项前 \(n\) 项和，则 \[ \begin{align} T_2 &= a_2+a_4+a_6+\dots+a_{2n} \\ &= \dfrac{n}{2}(6\times \dfrac{n}{2}-1) \\ &= \dfrac{n(3n-1)}{2} \end{align} \] 综上，令 \(T_n\) 表示 \(a_n\) 的前 \(2n\) 项和 \[ T_n=T_1+T_2=\dfrac{1}{2}n(2n^2-n+2a_1+1) \] 对于本题，将 \(n=8\) 和 \(T_n=540\) 代入即得答案 \(a_1=7\).